Question

已知函数f(x)=2sinx(

3

cosx-sinx)+1，若f（x-φ）为偶函数，则φ可以为（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  π

  3

• C、

  π

  4

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简，可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），从而得到f（x-φ）=2sin（2x+

π

6

-2φ）．再根据f（x-φ）为偶函数利用诱导公式，可得

π

6

-2φ=

π

2

+kπ（k∈Z），取整数k=-1得φ=

π

3

，可得答案．

解答：解：∵f(x)=2sinx(

3

cosx-sinx)+1=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x-φ）=2sin[2（x-φ）+

π

6

]=2sin（2x+

π

6

-2φ），
又∵f（x-φ）为偶函数，可得f（x-φ）=2cos2x或f（x-φ）=-2cos2x，
∴

π

6

-2φ=

π

2

+kπ（k∈Z），解得φ=-

π

6

-

1

2

kπ（k∈Z），
取整数k=-1，得φ=-

π

6

+

π

2

=

π

3

．
故选：B

点评：本题给出三角函数的表达式，求满足f（x-φ）为偶函数的φ值，着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式等知识，属于中档题．