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已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0,,0<φ<π)的一系列对应值如表:
x -
π
12
π
6
12
3
11π
12
y 0 1 0 -1 0
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别是△ABC的对边,若f(A)=
1
2
,c=2,a=
3
b
,求△ABC的面积.
分析:(Ⅰ)由表格中的数据可求出f(x)的周期T,然后利用周期公式求出ω的值,把求出的ω的值代入f(x)中,利用表格中的第二列的一对x与y的值,由0<φ<π,利用特殊角的三角函数值即可求出φ的值,从而确定出f(x)的解析式;
(Ⅱ)由f(A)=
1
2
,由第一问求出的f(x)的解析式和A的范围,利用特殊角的三角函数值求出A的度数,进而求出cosA的值,然后利用余弦定理得到一个关系式,把a=
3
b,c=2及cosA的值代入得到关于b的一元二次方程,求出方程的解得到b的值,然后利用三角形的面积公式,由b,c及sinA的值,即可求出△ABC的面积.
解答:解:(Ⅰ)由题中表格给出的信息可知,函数f(x)的周期为T=
11π
12
-(-
π
12
)=π,
所以ω=
π
=2,
又sin(2×
π
6
+φ)=1,且φ=2kπ+
π
2
-
π
3
=2kπ+
π
6
(k∈Z),
由0<φ<π,所以φ=
π
6

所以函数的解析式为f(x)=sin(2x+
π
6
);
(Ⅱ)∵f(A)=
1
2
,∴sin(2A+
π
6
)=
1
2

又∵A为△ABC的内角,
π
6
<2A+
π
6
13π
6

∴2A+
π
6
=
6

∴A=
π
3

由a2=b2+c2-2bccosA,得(
3
b)2=b2+22-2×2×b×
1
2

即b2+b-2=0,解得b=1或b=-2(舍去),
则S=
1
2
bcsinA=
1
2
×1×2×
3
2
=
3
2
点评:此题考查了由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,余弦定理及三角形的面积公式.熟练掌握公式及法则是解本题的关键,同时在求角度时注意角度的范围,牢记特殊角的三角函数值.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ax+bsinx,当x=
π
3
时,取得极小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)对任意x1x2∈[-
π
3
π
3
]
,不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立,试求实数m的取值范围;
(3)设直线l:y=g(x),曲线S:y=F(x),若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点;②对任意x∈R都有g(x)≥F(x),则称直线l与曲线S的“上夹线”.观察下图:

根据上图,试推测曲线S:y=mx-nsinx(n>0)的“上夹线”的方程,并作适当的说明.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x2-blnx在(1,2]是增函数,g(x)=x-b
x
在(0,1)为减函数.
(1)求b的值;
(2)设函数φ(x)=2ax-
1
x2
是区间(0,1]上的增函数,且对于(0,1]内的任意两个变量s、t,f(s)≥?(t)恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=cos( 2x+
π
3
)+sin2x.
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,满足2
AC
CB
=
2
ab,c=2
2
,f(A)=
1
2
-
3
4
,求△ABC的面积S.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知矩阵A=
a2
1b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

①求矩阵A;
②已知矩阵B=
1-1
01
,点O(0,0),M(2,-1),N(0,2),求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积.
(2)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为
x=t-3
y=
3
 t
(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρco sθ+3=0.
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;
②设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离的取值范围.
(3)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|.
①求不等式f(x)≥3的解集;
②若关于x的不等式f(x)≥a2-a在R上恒成立,求实数a的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
a
2x
+xlnx
,g(x)=x3-x2-x-1.
(1)如果存在x,x∈[0,2],使得g(x)-g(x)≥M,求满足该不等式的最大整数M;
(2)如果对任意的s,t∈[
1
3
,2],都有f(s)≥g(t)成立,求实数a的取值范围.

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