已知函数f(x)=ax+bsinx.当x=π3时.取得极小值π3-3．(1)求a.b的值,(2)对任意x1.x2∈[-π3.π3].不等式f(x1)-f(x2)≤m恒成立.试求实数m的取值范围,.曲线S:y=F(x).若直线l与曲线S同时满足下列两个条件:①直线l与曲线S相切且至少有两个切点,②对任意x∈R都有g.则称直线l与曲线S的“上夹线．观察下图:根据� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

时，取得极小值

．
（1）求a，b的值；
（2）对任意x1，x2∈[-

，

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，试求实数m的取值范围；
（3）设直线l：y=g（x），曲线S：y=F（x），若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x），则称直线l与曲线S的“上夹线”．观察下图：

根据上图，试推测曲线S：y=mx-nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并作适当的说明．

分析：（1）求导数f′（x），由已知可得f′（

）=0，f（

）=

，可得方程组，解出a，b后注意检验；
（2）对任意x1，x2∈[-

，

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，等价于f（x）_max-f（x）_min≤m，利用导数即可求得函数f（x）在[-

，

]上的最大值、最小值；
（3）根据图象可猜测“上夹线”方程为：y=mx+n，根据“上夹线”的定义进行说明即可；

解答：解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：

b=0

，解得a=1，b=-2，
此时f（x）=x-2sinx，∴f′（x）=1-2cosx，
当x∈（0，

）时，f′（x）＜0，当∈（

，

）时，f′（x）＞0，
∴当x=

时，f（x）取得极小值

，即a=1，b=-2符合题意；
（2）对任意x1，x2∈[-

，

]，不等式f（x₁）-f（x₂）≤m恒成立，等价于f（x）_max-f（x）_min≤m，
由（1）知f（x）=x-2sinx，f′（x）=1-2cosx，
当x∈[-

，

]时，f′（x）≤0，所以f（x）在[-

，

]上递减，
f(x)min=f(

，f(x)max=f(-

)=-

，
f（x）_max-f（x）_min=2

2π

，
所以m≥2

2π

；
（3）根据图象猜测“上夹线”方程为：y=mx+n，说明如下：
由y′（x）=m-ncosx=m，得cosx=0，
当x=-

时，cosx=0，此时y₁=mx+n=-

mπ

+n，y₂=mx-nsinx=-

mπ

+n，
∴y₁=y₂，
∴（-

，-

mπ

+n）是直线l与曲线S的切点；
当x=

3π

时，cosx=0，此时y₁=mx+n=

3mπ

+n，y₂=mx-nsinx=

3mπ

+n，
∴y₁=y₂，
∴（

3π

，

3mπ

+n）也是直线l与曲线S的切点；
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，（mx+n）-（mx-nsinx）=n（1+sinx）≥0，mx+n≥mx-nsinx，
因此直线l：y=mx+n为曲线S：y=mx-nsinx“上夹线”

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，（1）问知，求得a=1，b=-2后，需分析验证“x=

时，f（x）取得极小值”，学生易忘记这一步；分析（-

，-

mπ

+n）与（

3π

，

+n）是直线l与曲线S的切点，即满足①是难点，考查综合分析与推理的能力，属于难题．

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