Question

（本小题满分12分）在中，顶点，，、分别是的重心和内心，且．

求顶点的轨迹的方程；

过点的直线交曲线于、两点，是直线上一点，设直线、、的斜率分别为，，，求证：．

Answer 1

(1) ； (2) 详见解析

【解析】

试题分析：(1) 根据题中三角形内心的含义可知：，又由条件：，可见I和G的纵坐标相等，又,，代入化简得：，根据椭圆的定义得：顶点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，其中进而其方程，不过要注意去掉顶点噢； (2) 根据题意可设出直线方程，进而表示出点的坐标，不过要注意分斜率是否存在：当直线斜率存在时，设直线且，，，与椭圆联立方程组，运用韦达定理可得，.由题意：，，.化简得 .当直线斜率不存在时，易得结论.

试题解析：(1) 已知，且,，

其中为内切圆半径，化简得：，顶点的轨迹是以为焦点，

4为长轴长的椭圆（去掉长轴端点），其中

进而其方程为. (5分)

(2) 证明：当直线斜率存在时，设直线且，，

联立可得，. (8分)

由题意：，，.

当直线斜率不存在时，，

综上可得. (12分)

考点：1.轨迹方程的求法；2.椭圆方程的求法；3.直线与圆锥曲线的位置关系