Question

定义：

.

a    b c    d

.

=ad-bc，设f(x)=  

.

x-3k    x 2k          x

.

+3k•2k（x∈R，k为正整数）
（1）分别求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解
（2）设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄的值及数列{a_n}的前2n项和
（3）对于（2）中的数列{a_n}，设bn=

(-1)n

a2n-1a2n

，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据定义化简函数f（x）的解析式，然后根据一元二次方程求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解即可；
（2）由f（x）≤0即（x-3k）（x-2^k）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]建立关系式，然后取k=1，k=2可求出a₁+a₂+a₃+a₄的值，最后根据S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）进行求解即可；
（3）k≥2时，Tn-Tn-1=(-1)n

1

3n•2n

，然后讨论n的奇偶，可知T_n的最大值必为T_n的偶数项，而n为偶数时，{T_n}在n∈N^*上为递减数列，可求出T_n的最大值．

解答：解：（1）f（x）=x²-（3k+2^k）x+3k•2^k=（x-3k）（x-2^k）
当K=1时f（x）=（x-3）（x-2），所以方程f（x）=0的解为x=2，x=3--（2分）
当K=2时f（x）=（x-6）（x-4），所以方程f（x）=0的解为x=6，x=4---（4分）
（2）由f（x）≤0即（x-3k）（x-2^k）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]．
∴

a2k-1+a2k=3k+2k a2k-1•a2k=3k•2k

，-------（5分）
∴k=1时，a₁+a₂=3•1+2¹=5，k=2时，a₃+a₄=3•2+2²=10．
∴a₁+a₂+a₃+a₄=5+10=15-------------（7分）
S_2n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_2n-1+a_2n）
=（3•1+2¹）+（3•2+2²）+…+（3•n+2ⁿ）
=3（1+2+…+n）+（2+2²+…+2ⁿ）
=3•

(1+n)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=

3

2

n2+

3

2

n-2+2n+1---------（9分）
（3）T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=-

1

a1a 2

+

1

a3a 4

-

1

a5a 6

+

1

a7a 8

+…+(-1)n

1

a2n-1a 2n

=-

1

3•2

+

1

3•2•22

-

1

3•3•23

+

1

3•4•24

+…+(-1)n

1

3•n•2n

------（10分）
k≥2时，Tn-Tn-1=(-1)n

1

3n•2n

．n为奇数时，T_n-T_n-1＜0，即T₃＜T₂，T₅＜T₄，T₇＜T₆，…，T_n＜T_n-1，…，n为偶数时，T_n-T_n-1＞0，即T₂＞T₁，T₄＞T₃，T₆＞T₅，…，T_n＞T_n-1，…，
∴T_n的最大值必为T_n的偶数项
故当n为偶数时（n≥4）时，Tn-Tn-2=

1

a2n-1a2n

-

1

a2(n-2)-1a2(n-2)

=

1

a2n-1a2n

-

1

a2n-5a2n-4

=

1

3n•2n

-

1

3(n-2)•2n-2

=

n-2-4n

3n(n-2)•2n

=

-(3n+2)

3n(n-2)•2n

＜0．
∴n为偶数时，{T_n}在n∈N^*上为递减数列.T4=-

1

3•2

+

1

3•2•22

-

1

3•3•23

+

1

3•4•24

=-

1

8

 -

31

18×196

 ＜ T2=-

1

3•2

+

1

3•2•22

=-

1

8

∴(Tn)max=T2=-

1

8

．-------------（14分）

点评：本题主要考查了二阶行列式的定义，以及数列的求和，同时考查了计算能力，属于中档题．