Question

12．已知f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin2x，则f（x）的值域为[-1-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$]．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1-2sin²（x-$\frac{π}{4}$）令sin（x-$\frac{π}{4}$）=t，则t∈[-1，1]，换元后由二次函数区间的值域可得．

解答 解：化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+sin2x
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+cos（2x-$\frac{π}{2}$），
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+cos[2（x-$\frac{π}{4}$）]
=$\sqrt{2}$sin（x-$\frac{π}{4}$）+1-2sin²（x-$\frac{π}{4}$）
令sin（x-$\frac{π}{4}$）=t，则t∈[-1，1]，
换元可得y=-2t²+$\sqrt{2}$t+1，
由二次函数可知当t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，函数取最大值$\frac{5}{4}$；
当t=-1时，函数取最小值-1-$\sqrt{2}$，
∴函数的值域为：[-1-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$]
故答案为：[-1-$\sqrt{2}$，$\frac{5}{4}$]

点评 本题考查三角函数的最值，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．