Question

【题目】已知函数，.

（1）若函数有一正一负两个极值点，求实数的范围；

（2）当时，证明：对，.

Answer 1

【答案】（1）.（2）见解析

【解析】

（1）求得函数的导函数，构造函数，结合有一正一负两个极值点则有一正一负两个零点列不等式，解不等式求得的取值范围.

（2）利用导数求得的最大值为；通过结合导数，对进行分类讨论，求得的最小值大于零，由此证得对，.

（1）对求导，

得，

令，

因为函数有一正一负两个极值点，

所以函数有一正一负两个零点，

则，解得.

（2）对于，求导得，

当时，；时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以时，取得最大值，.

由（1）知，

令，

解得或.

①当时，，

则时，，单调递增；

时，，单调递减；

时，，单调递增.

所以时，取得极大值，，

因为，所以.

时，取得极小值，，

因为，所以.

又当时，，，所以，

当时，，，所以

因为，所以.

②当时，恒成立，

综上知，当时，对，.