Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为棱CC₁的中点，则异面直线BD₁与AM所成角的余弦值为

3

9

．

Answer 1

分析：分别以

DA

，

DC

，

DD1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则异面直线BD₁与AM所成角的余弦值，转化为求向量

BD1

与

AM

的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即可求得，注意向量夹角与异面角间的关系．

解答：解：分别以

DA

，

DC

，

DD1

的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），M（0，1，

1

2

），D₁（0，0，1），
所以

BD1

=（-1，-1，1），

AM

=（-1，1，

1

2

），
则cos＜

BD1

，

AM

＞=

BD1 • AM

| BD1 || AM |

=

1-1+ 1 2

3 • 1+1+ 1 4

=

3

9

，即异面直线BD₁与AM所成角的余弦值为

3

9

，
故答案为：

3

9

．

点评：本题考查异面直线及其所成角的求解，考查向量运算，属中档题．