Question

2．如图，在△ABC中，点D满足$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AC}$=0，且|$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$|=2，则$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{CB}$=（　　）

• A． -6
• B． 6
• C． 2
• D． -$\frac{8}{3}$

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CD}$表示出$\overrightarrow{CB}$，代入数量积公式计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AD}$+2$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{0}$，∴D是AB边上靠近B点的三等分点，
∴$\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$）=$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$．
∵|$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}$|=|$\overrightarrow{CD}$|=2，∴CD=2，
∴$\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{CB}$=$\overrightarrow{DC}•$（$\frac{3}{2}$$\overrightarrow{CD}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$）=-$\frac{3}{2}{\overrightarrow{DC}}^{2}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{3}{2}$${\overrightarrow{DC}}^{2}$=-6．
故选A．

点评 本题考查了平面向量基本定理和数量积运算，属于中档题．