Question

6．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=4bx的焦点分成5：3两段，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{15}}{15}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 依题意，抛物线y²=2bx 的焦点F（b，0），由 （ b+c）：（c-b）=5：3可求得b，c关系，结合双曲线的性质即可求得此双曲线的离心率．

解答 解：∵抛物线y²=4bx的焦点F（b，0），线段F₁F₂被抛物线y²=4bx 的焦点分成5：3的两段，
∴（b+c）：（c-b）=5：3，∴c=4b，
∴c²=a²+b²=a²+$\frac{{c}^{2}}{16}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{16}{15}$．
∴此双曲线的离心率e=$\frac{4\sqrt{15}}{15}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的简单性质与抛物线的简单性质，求得c=4b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．