Question

8．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，且（2a-c）cosB=bcosC
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由余弦定理化简已知等式可得：（2a-c）$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=b$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：a²+c²-b²=ac，由余弦定理可求cosB，结合B的范围即可得解B的值．
（Ⅱ）由b²=ac，利用正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，利用同角三角函数关系式及两角和的正弦函数公式化简可得$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{sinB}$，结合（Ⅰ）的结论即可得解．

解答 解：（Ⅰ）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴由余弦定理可得：（2a-c）$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=b$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，整理可得：a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得B=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵内角A，B，C的对边a，b，c成等比数列，可得：b²=ac，
∴由正弦定理可得：sin²B=sinAsinC，
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{sinCcosA+sinAcosC}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{sinAsinC}$=$\frac{sinB}{sinAsinC}$=$\frac{1}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数关系式，等差数列与等比数列的性质等知识的应用，熟练掌握和灵活应用相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．