Question

7．已知函数f（x）=x³+x²+ax+b．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，求实数b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） a=-1时，f'（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1），由导数性质能求出函数f（x）的增区间．
（Ⅱ） 函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，等价于f（x）-ax=0有两个不等的实根．令g（x）=f（x）-ax=x³+x²+b，则g'（x）=3x²+2x=x（3x+2），由导数性质能求出b．

解答 解：（Ⅰ） a=-1时，f（x）=x³+x²-x+b，
所以f'（x）=3x²+2x-1=（x+1）（3x-1），
令f'（x）＞0，得x＜-1或$x＞\frac{1}{3}$，
所以函数f（x）在（-∞，-1），$（{\frac{1}{3}，+∞}）$内是增函数．
（Ⅱ） 函数f（x）的图象与直线y=ax恰有两个不同的公共点，
等价于f（x）-ax=0有两个不等的实根．
令g（x）=f（x）-ax=x³+x²+b，所以g'（x）=3x²+2x=x（3x+2）
令g'（x）＞0，得$x＜-\frac{2}{3}$或x＞0；令g'（x）＜0得$-\frac{2}{3}＜x＜0$．
所以函数g（x）在$（{-∞，-\frac{2}{3}}）$和（0，+∞）上单调递增；在$（{-\frac{2}{3}，0}）$上单调递减．
所以$x=-\frac{2}{3}$时，函数g（x）取得极大值为$g（{-\frac{2}{3}}）=\frac{4}{27}+b$；
当x=0时函数g（x）取得极小值为g（0）=b．
故$g（{-\frac{2}{3}}）=\frac{4}{27}+b=0$或g（0）=b=0．
所以$b=-\frac{4}{27}$或b=0．

点评 本题考查函数的增区间的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．