Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=BB₁，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）若AC₁⊥平面A₁BD，求证B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B-A₁C₁D的体积．

Answer 1

证明：（I）连结AB₁交A₁B于E，连ED．
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱中，且AB=BB₁，
∴侧面ABB₁A是一正方形．
∴E是AB₁的中点，又已知D为AC的中点．
∴在△AB₁C中，ED是中位线．
∴B₁C∥ED．
又∵B₁C?平面A₁BD，ED?平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD．…（4分）
（II）∵AC₁⊥平面ABD，A₁B?平面ABD，
∴AC₁⊥A₁B，
又∵侧面ABB₁A是一正方形，
∴A₁B⊥AB₁．
又∵AC₁∩AB₁=A，AC₁，AB₁?平面AB₁C₁．
∴A₁B⊥平面AB₁C₁．
又∵B₁C₁?平面AB₁C₁．
∴A₁B⊥B₁C₁．
又∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴BB₁⊥B₁C₁．
又∵A₁B∩BB₁=B，A₁B，BB₁?平面ABB₁A₁．
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．…（8分）
（III）∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC．
∴BD⊥平面DC₁A₁．
∴BD就是三棱锥B-A₁C₁D的高．
由（II）知B₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁．
∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．
又∵AB=BC=1
∴BD=

2

2

∴AC=A₁C₁=

2

∴三棱锥B-A₁C₁D的体积
V=

1

3

•BD•S△A1C1D=

1

3

•

2

2

•

1

2

•A₁C₁•AA₁=K=

1

6

…（12分）