Question

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b-c=2bcos（B+C）
（1）若a=2$\sqrt{6}$，b=3，求c；
（2）求证：A=2B．

Answer 1

分析 （1）利用诱导公式，三角形内角和公式化简已知可得3-c=-6cosA，结合余弦定理即可得解．
（2）由正弦定理及三角函数恒等变换的应用化简已知可得sinB-sin（A-B）=0，利用和差化积公式可得2cos$\frac{A}{2}$sin$\frac{2B-A}{2}$=0，结合0＜A＜π，cos$\frac{A}{2}$≠0，解得sin$\frac{2B-A}{2}$=0，即可得解A=2B．

解答 解：（1）∵b-c=2bcos（B+C）=2bcos（π-A）=-2bcosA，a=2$\sqrt{6}$，b=3，
∴3-c=-6cosA，
∴由余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{9+{c}^{2}-24}{6c}$=$\frac{c-3}{6}$，
∴解得：c=5．
（2）证明：∵b-c=2bcos（B+C）=-2bcosA，
∴由正弦定理可得：sinB+2sinBcosA=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，整理可得：sinB=sinAcosB-cosAsinB，
∴sinB-sin（A-B）=0，
∴2cos$\frac{A}{2}$sin$\frac{2B-A}{2}$=0，
∵0＜A＜π，cos$\frac{A}{2}$≠0，
∴sin$\frac{2B-A}{2}$=0，∴$\frac{2B-A}{2}$=0，解得A=2B．得证．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，和差化积公式，三角形内角和定理等知识的应用，综合性较强，熟练记忆和灵活应用公式是解题的关键，属于中档题．