Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， O为坐标原点，点P（1， ）在椭圆上，连接PF1交y轴于点Q，点Q满足 = ．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点M（ ，0），若直线l过椭圆C的右焦点F2 ， 证明： 为定值；
（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足 + =λ ，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 = ，则Q为PF1的中点，则PF1⊥F1F2 ， 则c=1， = ，a2=b2﹣c2 ，
解得：a= ，b=1，
∴椭圆的标准方程： ；

（Ⅱ）证明：由题意可知：设直线l的方程y=k（x﹣1），k≠1，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
∴ ，整理得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，
则x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2x1x2﹣k2（x1+x2）+k2 ，
由 =（x1﹣ ，y1）， =（x2﹣ ，y2），
则 =（x1﹣ ，y1）（x2﹣ ，y2）=（1+k2）x1x2﹣（k2+ ）（x1+x2）+ +k2 ，
=（1+k2）× ﹣（k2+ ）× + +k2 ，
= + ，
=﹣ ，
∴ 为定值，定值为﹣ ；
（Ⅲ）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），Q（x0 ， y0）．
当λ=0时，由 + =λ ， + = ，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，
∴λ=0成立；
当λ≠0时，联立 ，得（1+2k2）x2+8kx+6=0，
由△=（8k）2﹣4×6（1+2k2）＞0，解得k2＞ ，…（*），
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
y1+y2=k（x1+x2）+4= ．
由 + =λ ，得（x1+x2 ， y1+y2）=（λx0 ， λy0），可得x1+x2=λx0 ， y1+y2=λy0 ，
，由Q在椭圆 上，
代入，整理得4= （1+2k2），
代入（*）式，得λ2＜4，解得﹣2＜λ＜2且λ≠0．
综上可知：λ∈（﹣2，2）．
【解析】（Ⅰ）由题意可知：c=1， = ，a2=b2﹣c2 ， 即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理定理及向量数量积的坐标运算，即可求证 为定值；（Ⅲ）分类讨论，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由△＞0，求得k2＞ ，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可求得4= （1+2k2），即可求得实数λ的取值范围．
【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．