Question

【题目】如图，在以为顶点的多面体中， 平面， 平面， ．

（1）请在图中作出平面，使得，且，并说明理由；

（2）求直线和平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取BC的中点P，连接EP，DP，证明平面ABF∥平面EDP，可得结论；（2）建立如图所示的坐标系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直线EF与平面BCE所成角的正弦值．

试题解析：（1）如图，取中点，连接，则平面即为所求的平面.

显然，以下只需证明平面；

∵，

∴且，

∴四边形为平行四边形，

∴.

又平面， 平面，

∴平面.

∵平面， 平面，

∴.

又平面， 平面，

∴平面，

又平面平面，

∴平面平面.

又平面，

∴平面，即平面.

（2）

过点作并交于，

∵平面，

∴，即两两垂直，

以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系.在等腰梯形中，∵，

∴，

则.

∵，∴，

∴.

设平面的法向量，

由，得，

取，可得平面的一个法向量.

设直线和平面所成角为，

又∵，

∴，

故直线和平面所成角的正弦值为.