Question

【题目】已知m＞1，直线l：x﹣my﹣ =0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点． （Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2 ， △BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣ =0，经过F2（ ，0）， 所以 = ，得m2=2，
又因为m＞1，所以m= ，
故直线l的方程为x﹣ y﹣1=0．
（Ⅱ）解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由 ，消去x得
2y2+my+ ﹣1=0
则由△=m2﹣8（ ﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=﹣ ，y1y2= ﹣ ．
由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由 ， =2 ，可知G（ ， ），H（ ， ）
|GH|2= +
设M是GH的中点，则M（ ， ），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（ ）2+（ ）2]＜ + 即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+ ）（my2+ ）+y1y2=（m2+1）（ ）
所以（ ）＜0，即m2＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．

【解析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2 ， 根据 ， =2 ，可知G（ ， ），h（ ， ），表示出|GH|2 ， 设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．