Question

【题目】已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣1与x=2处都取得极值． （Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对x∈[﹣2，3]，不等式f（x）+ c＜c2恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2+2ax+b， 由题意： 即
解得
∴ ，f′（x）=3x2﹣3x﹣6
令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（﹣1，2）；增区间为（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；
在（﹣1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[﹣2，3]时，f（x）的最大值即为f（﹣1）与f（3）中的较大者. ；
∴当x=﹣1时，f（x）取得最大值．
要使 ，只需 ，即：2c2＞7+5c
解得：c＜﹣1或 ．
∴c的取值范围为
【解析】（Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=﹣1和x=2代入求出a、b即可；（Ⅱ）求出函数的最大值为f（﹣1），要使不等式恒成立，既要证f（﹣1）+ c＜c2 ， 即可求出c的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．