【题目】设函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若,证明:对任意的实数
,都有
.
【答案】(1)当时,
在
上单调递增;当
时,
的单调减区间为
,单调增区间为
;(2)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求出函数的导数,通过讨论的范围求出函数的单调区间即可;
(Ⅱ)问题转化为证明,先证出
,再证明
令
,根据函数的单调性证明即可.
试题解析:(1)定义域为,
,
①当时,
,
在
上单调递增,
②当时,令
,有
,
0 | |||
↘ | 极小值 | ↗ |
所以的单调减区间为
,单调增区间为
.
综合①②,当时,
在
上单调递增;当
时,
的单调减区间为
,单调增区间为
.
(2)要证明,即证明
,
下面先证明:,
构造函数,
,
令得
,当
时,
即
在
上单调递增,
∴,
于是有,
,
∴当时,
,
从而.
接下来只需证:,
即证:,
令,则
,
所以在
上单调递减,
上单调递增,
即,
∵时,
,
∴,
∴.
点晴:本题主要考查函数单调性,及不等式的证明问题.要求单调性,求导比较导方程的根的大小,解不等式可得单调区间,要证明不等式恒成立问题可转化为构造新函数证明新函数单调,只需要证明其导函数大于等于0(或者恒小于等于0即可),要证明一个不等式,我们可以先根据题意构造新函数,求其值最值即可.这类问题的通解方法就是:划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商店会员活动日.
(Ⅰ)随机抽取50名会员对商场进行综合评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)估计会员对商场的评分不低于80的概率.
(Ⅱ)采取摸球兑奖的方式对会员进行返代金券活动,每位会员从一个装有5个标有面值的球(2个所标的面值为300元,其余3个均为100元)的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该会员所获的代金券金额.求某会员所获得奖励超过400元的概率.
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【题目】甲、乙两人约定在中午12时到下午1时之间到某站乘公共汽车,又知这段时间内有4班公共汽车.设到站时间分别为12:15,12:30,12:45,1:00.如果他们约定:
①见车就乘;
②最多等一辆.
试分别求出在两种情况下两人同乘一辆车的概率.假设甲乙两人到达车站的时间是相互独立的,且每人在中午12点到1点的任意时刻到达车站是等可能的.
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【题目】A,B两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示,若A,B两人的平均成绩分别是xA , xB , 观察茎叶图,下列结论正确的是( )
A.xA<xB , B比A成绩稳定
B.xA>xB , B比A成绩稳定
C.xA<xB , A比B成绩稳定
D.xA>xB , A比B成绩稳定
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【题目】某学校一个生物兴趣小组对学校的人工湖中养殖的某种鱼类进行观测研究,在饲料充足的前提下,兴趣小组对饲养时间x(单位:月)与这种鱼类的平均体重y(单位:千克)得到一组观测值,如下表:
xi(月) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
yi(千克) | 0.5 | 0.9 | 1.7 | 2.1 | 2.8 |
(参考公式: =
,
=
﹣
)
(1)在给出的坐标系中,画出关于x,y两个相关变量的散点图.
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出变量y关于变量x的线性回归直线方程 .
(3)预测饲养满12个月时,这种鱼的平均体重(单位:千克)
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【题目】求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)以(0,5)和(0,-5)为焦点,且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26;
(2)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过M(2, ).
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【题目】在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).
(1)判断△ABC的形状;
(2)在上述△ABC中,若角C的对边c=1,求该三角形内切圆半径的取值范围.
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