【题目】在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).
(1)判断△ABC的形状;
(2)在上述△ABC中,若角C的对边c=1,求该三角形内切圆半径的取值范围.
【答案】
(1)解:根据正弦定理,原式可变形为:c(cosA+cosB)=a+b①,
∵根据任意三角形射影定理得:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,
∴a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b)②,
由于a+b≠0,故由①式、②式得:cosC=0,
∴在△ABC中,∠C=90°,
则△ABC为直角三角形;
(2)解:∵c=1,sinC=1,∴由正弦定理得:外接圆半径R= = ,
∴ = = =2R=1,即a=sinA,b=sinB,
∵sin(A+ )≤1,
∴内切圆半径r= (a+b﹣c)= (sinA+sinB﹣1)= (sinA+sinB)﹣ = sin(A+ )﹣ ≤ ,
∴内切圆半径的取值范围是(0, ].
【解析】(1)已知等式利用正弦定理化简得到关系式c(cosA+cosB)=a+b,再利用三角形射影定理得到a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,表示出a+b,联立两式求出cosC的值为0,确定出C的度数为90°,即可对于三角形ABC形状为直角三角形;(2)由c及sinC的值,利用正弦定理求出外接圆的半径R,表示出a与b,根据内切圆半径r= (a+b﹣c),将a与b代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简,根据正弦 函数的值域即可确定出r的范围.
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点,需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正确解答此题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)当m=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率;
(2)求函数的单调区间与极值.
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【题目】下列判断正确的是( )
A.a=7,b=14,A=30°,有两解
B.a=30,b=25,A=150°,有一解
C.a=6,b=9,A=45°,有两解
D.a=9,b=10,A=60°,无解
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【题目】已知函数, .
(Ⅰ)当时,求在处的切线方程;
(Ⅱ)若且函数有且仅有一个零点,求实数的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若时, 恒成立,求实数的取值范围.
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【题目】已知点是椭圆E: (a>b>0)上一点,离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设不过原点O的直线l与该椭圆E交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.
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