Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若且函数有且仅有一个零点，求实数的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若时， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数在处的导数值，计算出，利用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）令，解出，令，利用导数可得在上单调递增，在上单调递减，根据， ， ，可得结果；（Ⅲ）将题意转化为，利用导数判断函数的单调性,可得其最大值.

试题解析：（Ⅰ）当时， 定义域，

∴，又

在处的切线方程

（Ⅱ）令，则

即

令，则

令，则，

∵，∴，∴在上是减函数，

又∵，所以当时， ，当时， ，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴，又因为， ，

∴当函数有且仅有一个零点时，

（Ⅲ）当， ，若， ，只需证明

，

令得或，又∵，

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即是的极大值点，

又，

∵ ，

∴，∴