Question

【题目】设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.

(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；

(2)求函数的单调区间与极值．

Answer 1

【答案】（1）曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为1

（2）f(x)在(－∞，1－m)和(1＋m，＋∞)内为减函数；最大值为f(1＋m)＝m3＋m2－；最小值为f(1－m)＝－m3＋m2－

【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义先求切线斜率f′(1)，（2）先求导函数零点x＝1－m或x＝1＋m.再列表分析导函数符号变化规律，确定单调区间及极值.

试题解析：(1)当m＝1时，f(x)＝－ x3＋x2，

f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.

(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.

令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.

因为m＞0，所以1＋m＞1－m.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数.

函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－ m3＋m2－.

函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.