Question

【题目】椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0）、F2（c，0），过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2，∠PF2Q=90°，且△PF2Q的面积为1.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线l不经过点A（0,1），且与椭圆交于M，N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。

Answer 1

【答案】（1）（2）m=-，定点（0，-）

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系可求得a2=2，b2=1，则椭圆方程是 .

(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得直线l过定点.

试题解析：

（1）∠PF2E=90°口PF1QF2为矩形丨F1F2丨=丨PQ丨=2c=1

==1PF1·PF2=2

又PF1+PF2=2a，则a2=2，b2=1

椭圆方程：

(2) （2k2+1）x2+4kmx+2（m2-1）=0

=8（2k2+1-m2），x1+x2=，x1x2=

=（x1，y1-1）（x2，y2-1）=0

3m2-2m-1=0

又直线不经过A（0,1），所以m≠1，m=-，定点（0，-）