【题目】在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱AA1⊥平面ABC,且D,E分别是棱A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=AB。
(1)求证:EF∥平面BDC1;
(2)求三棱锥D-BEC1的体积。
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:
(1)由题意结合几何关系可证得EF∥BD,然后利用线面平行的判定定理即可证得EF∥平面DBC1;
(2)利用题中几何体的特点转化顶点可求得三棱锥的体积为.
试题解析:
(1)设O为AB的中点,连接A1O,∵AF= ,O为AB的中点,∴F为AO的中点,
又∵E为AA1的中点,∴EF∥A1O,又∵D为A1B1的中点,O为AB的中点,∴A1D=OB,
又∵A1D∥OB,所以四面形A1DBO为平行四边形,∴A1O∥BD,又∵EF∥A1O,∴EF∥BD,又∵EF平面DBC1,BD
平面DBC1,∴EF∥平面DBC1;
∵AB=BC-CA=AA1=2
D,E分别为A1B1,AA1的中点,AF=AB,∴C1D⊥面ABB1A1,而
S△BDE==2x2-
x2x1-
x2x1-
x1x1=
。
∵C1D=
,∴
=
S△BDE·C1D=
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【题目】已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)=2,且f(x)的导数f'(x)在R上恒有f'(x)<1(x∈R),则不等式f(x)>x+1的解集为( )
A.(1,+∞)
B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
C.(﹣1,1)
D.(﹣∞,1)
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【题目】椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2,∠PF2Q=90°,且△PF2Q的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l不经过点A(0,1),且与椭圆交于M,N两点,若以MN为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。
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【题目】已知函数 ,a为正常数.
(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a= ,求函数f(x)的单调增区间;
(2)在(1)中当a=0时,函数y=f(x)的图象上任意不同的两点A(x1 , y1),B(x2 , y2),线段AB的中点为C(x0 , y0),记直线AB的斜率为k,试证明:k>f'(x0).
(3)若g(x)=|lnx|+φ(x),且对任意的x1 , x2∈(0,2],x1≠x2 , 都有 ,求a的取值范围.
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【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | 24 |
(Ⅰ)求,
,
的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的分布列及数学期望
;
(Ⅲ)某评估机构以指标(
,其中
表示
的方差)来评估该校安全教育活动的成效.若
,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?
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