Question

【题目】已知函数 ，a为正常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a= ，求函数f（x）的单调增区间；
（2）在（1）中当a=0时，函数y=f（x）的图象上任意不同的两点A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），线段AB的中点为C（x0 ， y0），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x0）．
（3）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：

∵a= ，令f'（x）＞0得x＞2或

∴函数f（x）的单调增区间为

（2）解：证明：当a=0时f（x）=lnx

∴

∴

又

不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，

即比较 与 的大小，

又∵x2＞x1，

∴即比较 与 的大小．

令 ，

则

∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．

又 ，

∴ ，

∴ ，

即k＞f'（x0）；

（3）解：∵ ，

∴

由题意得F（x）=g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．

1°当 ，

∴

由 在x∈[1，2]恒成立．

设m（x）= ，x∈[1，2]，则

∴m（x）在[1，2]上为增函数，

∴

2°当 ，

∴

由 在x∈（0，1）恒成立

设t（x）= ，x∈（0，1）为增函数

∴a≥t（1）=0

综上：a的取值范围为

【解析】（1）由题意先把f（x）的解析式具体，然后求其导函数，令导函数大于0，解出的即为函数的增区间；（2）对于当a=0时，先把f（x）=lnx具体出来，然后求导函数，得到f′（x0），在利用斜率公式求出过这两点的斜率公式，利用构造函数并利用构造函数的单调性比较大小；（3）因为g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意的x1 ， x2∈（0，2]，x1≠x2 ， 都有 ，先写出g（x）的解析式，利用该函数的单调性把问题转化为恒成立问题进行求解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的单调性的相关知识，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种，以及对函数单调性的性质的理解，了解函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集．