Question

【题目】已知函数，.

（1）函数，，求函数的最小值；

（2）对任意，都有成立，求的范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（1）由题意知.由，得.分三种情形讨论即可求解.

（2）设，则对任意，都有成立.由 ，对分三种情形讨论，需要再次对导函数求导，难度较大.

试题解析：（I）.

，令得.

当即时，在上，递增，

的最小值为.

当即时，在上，为减函数，在在上，为增函数.

∴ 的最小值为.

当即时，在上，递减，的最小值为

.

综上所述，当时的最小值为，当时的最小值为,当时，最小值为.

（II）设，

.

①当时，在上，在递增，的最小值为，不可能有.

②当时, 令，解得：，此时

∴.∴在上递减.∵的最大值为，∴递减.∴的最大值为，

即成立.

当时，此时当时，

递增，当时，递减.

∴ ，又由于,

∴在上，递增，

又∵,所以在上，显然不合题意.

综上所述：.