Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜ ）图象如图，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为原点．且|OQ|=2，|OP|= ，|PQ|= ．

（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）图象向右平移1个单位后得到函数y=g（x）的图象，当x∈[0，2]时，求函数h（x）=f（x）g（x）的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由余弦定理得cos∠POQ= = ，

∴sin∠POQ= ，得P点坐标为（ ，1），∴A=1， =4（2﹣ ），∴ω= ．

由f（ ）=sin（ +φ）=1 可得 φ= ，∴y=f（x） 的解析式为 f（x）=sin（ x+ ）．

（2）解：根据函数y=Asin（ωx+）的图象变换规律求得 g（x）=sin x，…（7分）

h（x）=f（x）g（x）=sin（ x+ ） sin x= + sin xcos x

= + sin = sin（ ﹣ ）+ ．

当x∈[0，2]时， ∈[﹣ ， ]，

∴当 ，

即 x=1时，hmax（x）= ．

【解析】（1）由余弦定理得cos∠POQ 的值，可得sin∠POQ，求出P的坐标可得A的值，再由函数的周期求出ω的值，再把点P的坐标代入函数解析式求出φ，即可求得 y=f（x） 的解析式．（2）求出g（x） 的解析式，化简h（x）=f（x）g（x） 的解析式为 sin（ ﹣ ）+ ，再根据x的范围求出h（x） 的值域，从而求得h（x） 的最大值．
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换和三角函数的最值的相关知识点，需要掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．