Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为2 ，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，且FO⊥平面ABCD，FO= ．

（1）求BF与平面ABCD所成的角的正切值；
（2）求三棱锥O﹣ADE的体积；
（3）求证：平面AEF⊥平面BCF．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接BO，因为正方形ABCD的边长为2 ，所以BD⊥AC，且DB=AC=4，又O为GC的中点，所以GO=1，GB=2，BO= ）

又FO⊥平面ABCD，且 ，所以∠FBO即为BF与平面ABCD所成的角

所以，tan∠FBO=

（2）解：由上知，AO=3，所以S△ADO= = =3

又BDEF是平行四边形，且FO⊥平面ABCD， ，所以三棱锥E﹣ADO的高为

所以VO﹣ADE=VE﹣ADO= =

（3）证明：由正方形ABCD知BD⊥AC．因为FO⊥平面ABCD，所以BD⊥FO，

从而BD⊥平面ACF，得BD⊥CF．因为BD∥EF，所以CF⊥EF．

由（1）知AC=4，OC=1，AO=3，又 ，故有 ，FC=2，

因AF2+FC2=AC2，所以CF⊥AF，由于EF∩AF=F，

所以CF⊥平面AEF，而CF平面BCF，

所以平面AEF⊥平面BCF

【解析】（1）证明∠FBO即为BF与平面ABCD所成的角，即可求BF与平面ABCD所成的角的正切值；（2）利用VO﹣ADE=VE﹣ADO ， 求三棱锥O﹣ADE的体积；（3）证明CF⊥平面AEF，即可证明平面AEF⊥平面BCF．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．