【题目】对于函数f(x)= ,有下列5个结论: ①任取x1 , x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2;
②函数y=f(x)在区间[4,5]上单调递增;
③f(x)=2kf(x+2k)(k∈N+),对一切x∈[0,+∞)恒成立;
④函数y=f(x)﹣ln(x﹣1)有3个零点;
⑤若关于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有两个不同实根x1 , x2 , 则x1+x2=3.
则其中所有正确结论的序号是 . (请写出全部正确结论的序号)
【答案】①④⑤
【解析】解:f(x)= 的图象如图所示:①∵f(x)的最大值为1,最小值为﹣1, ∴任取x1、x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2恒成立,故①正确;②函数在区间[4,5]上的单调性和[0,1]上的单调性相同,则函数y=f(x)在区间[4,5]上不单调;故②错误;③f(
)=2f(
+2)=4f(
+4)=6f(
+6)≠8f(
+8),故不正确;故③错误,④如图所示,函数y=f(x)﹣ln(x﹣1)有3个零点;故④正确,⑤当1≤x≤2时,函数f(x)关于x=
对称,若关于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有两个不同实根x1 , x2 ,
则 =
,则x1+x2=3成立,故⑤正确,
故答案为:①④⑤.
作出f(x)= 的图象,分别利用函数的性质进行判断即可.
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【题目】椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),过椭圆中心的弦PQ满足丨PQ丨=2,∠PF2Q=90°,且△PF2Q的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线l不经过点A(0,1),且与椭圆交于M,N两点,若以MN为直径的圆经过点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。
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【题目】已知函数f(x)=cos2 +
sinωx﹣
(ω>0),x∈R,若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )
A.(0, ]
B.(0, ]∪[
,
)
C.(0, ]
D.(0, ]∪[
,
]
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【题目】某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:
等级 | 不合格 | 合格 | ||
得分 | ||||
频数 | 6 | 24 |
(Ⅰ)求,
,
的值;
(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人,记所选4人的量化总分为,求
的分布列及数学期望
;
(Ⅲ)某评估机构以指标(
,其中
表示
的方差)来评估该校安全教育活动的成效.若
,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?
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【题目】已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1,且f(x)的导函数f′(x)≥ ,则f(x)<
+
的解集为( )
A.{x|x<1}
B.{x|x>1}
C.{x|x<﹣1}
D.{x|x>﹣1}
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【题目】如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB=BC,AD是BC边上的高,AE是⊙O的直径.
(1)求证:ACBC=ADAE;
(2)过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F,若AF=3,CF=9,求AC的长.
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