Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2lnx．
（1）求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增．
（2）若f（x）≥2tx﹣ 在x∈（0，1]内恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣ = ，

由f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，

所以，函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增

（2）解：由f（x）≥2tx﹣ 对x∈（0，1]恒成立，得2t≤x+ ﹣ ．

令h（x）=x+ ﹣ ，则h′（x）= ，

因为x∈（0，1]，所以x4﹣3＜0，﹣2x2＜0，

2x2lnx＜0，x4＞0，

所以h′（x）＜0，

所以h（x）在（0，1）上为减函数．

所以当x=1时，h（x）=h（x）=x+ ﹣ ，有最小值2，得2t≤2，

所以t≤1，故t的取值范围是（﹣∞，1]

【解析】（1）先求函数的导数，根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（2）要求若f（x）≥2tx﹣ 在x∈（0，1]内恒成立，即转化为2t≤x+ ﹣ 在x∈（0，1]内恒成立，只需求h（x）=x+ ﹣ x∈（0，1]内的最小值即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．