Question

已知：3Sinβ=Sin（2α+β），则tanβ的最大值是________．

Answer 1

分析：先利用变换角的方法，将已知等式转化为3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]，再利用三角变换公式将等式化简得tan（α+β）=2tanα，最后利用两角差的正切公式将tanβ表示为tanα的函数，利用均值定理球最值即可
解答：由3sinβ=sin（2α+β）得：
3sin[（α+β）-α]=sin[（α+β）+α]
?3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
?sin（α+β）cosα=2cos（α+β）sinα
若cos（α+β）=0，则易得tanβ=0
若cos（α+β）≠0，则在等式两边同除以cos（α+β），即
∴tan（α+β）=2tanα （tanα≠0）
因为tanβ=tan[（α+β）-α]===
显然当tanα＞0时，tanβ取得最大值，∴tanβ=≤==
当且仅当tanα=1时取等号
综上所述，tanβ的最大值是
故答案为
点评：本题主要考查了三角化简和求值中变换角的方法和技巧，三角变换公式在化简和求值中的应用，均值定理求最值的方法，特别注意最值取得时等号成立的条件，属中档题