Question

【题目】已知双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率e= ，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若 =﹣23，求直线m的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，l方程 + =1，即bx﹣ay﹣ab=0，由原点O到l的距离为 ，得

= ，又e= = ，

∴b=1，a= ．

故所求双曲线方程为 ﹣y2=1．

（2）解：显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx﹣1，

则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组 的解，

消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①

依题意，1﹣3k2≠0，由根与系数关系，

知x1+x2= ，x1x2=

=（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2

=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）

=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1

= ﹣ +1= +1．

又∵ =﹣23，

∴ +1=﹣23，k=± ，

当k=± 时，方程①有两个不相等的实数根，

∴方程为y= x﹣1或y=﹣ x﹣1．

【解析】（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．（2）设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1 ， y1），（x2 ， y2）是方程组 的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．