【题目】如图,平行四边形中,,,为边的中点,沿将折起使得平面平面.
(1)求证:平面平面;
(2)求四棱锥的体积;
(3)求折后直线与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
(1)根据面面垂直的性质定理,证得平面,由此证得平面平面.
(2)的中点,根据等比三角形的性质得到由面面垂直的性质定理得平面,也即是四棱锥的高.进而求得四棱锥的体积.
(3)以为空间坐标系原点建立空间直角坐标系,利用直线的方向向量和平面的法向量,计算出直线与平面所成的角的正弦值.
(1)证明:∵平面平面,平面平面,
由题易知,且平面.
∴平面,而平面,
∴平面平面.
(2)由已知有是正三角形,取的中点,则,又平面平面于,
则平面,且,
易求得,
∴.
(3)作,由(1)知可如图建系,
则,,,
,
又,得,
,.
设平面的法向量,则
,不妨取.
设折后直线与平面所成的角为,则.
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【题目】某高新企业自2012年成立以来,不断创新技术与产品,积极拓展市场,销售收入(单位万元)与年份代号之间对应关系如下表,且满足回归函数,记。
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
销售收入 | 80 | 199 | 398 | 2512 | 6310 | 15848 | 79432 |
1.9 | 2.3 | 2.6 | 3.4 | 3.8 | 4.2 | 4.9 |
(1)任取2年对比销售收入的情况,求这2年中销售收入均超过400万元的概率;
(2)求回归函数中的值。
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
,
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【题目】一幢高楼上安放了一块高约10 米的 LED 广告屏,一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的 C 处测得广告屏顶端A 处的仰角为 31.80°,再向大楼前进 20 米到 D 处,测得广告屏顶端 A 处的仰角为 37.38°(人的高度忽略不计).
(1)求大楼的高度(从地面到广告屏顶端)(精确到 1 米);
(2)若大楼的前方是一片公园空地,空地上可以安放一些长椅,为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰(长 椅的高度忽略不计),长椅需安置在距大楼底部 E 处多远?已知视角 ∠AMB( M 为观测者的位置, B 为广告屏 底部)越大,观看得越清晰.
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【题目】在三棱锥中,OA、OB、OC所在直线两两垂直,且,CA与平面AOB所成角为,D是AB中点,三棱锥的体积是.
(1)求三棱锥的高;
(2)在线段CA上取一点E,当E在什么位置时,异面直线BE与OD所成的角为?
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【题目】如图,三棱柱中,侧面,已知,,,点是棱的中点.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在棱上是否存在一点,使得与平面所成角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】平面内任意一点到两定点、的距离之和为.
(1)若点是第二象限内的一点且满足,求点的坐标;
(2)设平面内有关于原点对称的两定点,判别是否有最大值和最小值,请说明理由?
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