Question

【题目】如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）（3）存在,或.

【解析】

（1）根据线面垂直的判定定理，即可证得平面.

（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解；

（3）假设存在点，设，根据，得到的坐标，结合平面的法向量为列出方程，即可求解.

（1）由题意，因为，，，∴，

又∴，∴，

∵侧面，∴.

又∵，，平面

∴直线平面.

（2）以为原点，分别以，和的方向为，和轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则有，，，，

设平面的一个法向量为

，

∵，∴，令，则，∴

设平面的一个法向量为，，，

∵，∴，令，则，∴，

，，，∴.

设二面角为，则.

∴设二面角的余弦值为.

（3）假设存在点，设，∵，，

∴，∴∴

设平面的一个法向量为，

∴，得.

即，∴或，∴或.