Question

【题目】在如图所示的组合体中，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与重合的一个点．

（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小；

（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接，则，（或其补角）为异面直线与的所成角，利用余弦定理可求异面直线与的所成角的大小.

（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，当点是弧的中点时，可证明平面，从而可得四棱锥的体积，最后求出圆柱的体积即得四棱锥与圆柱的体积比．

（1）如图，取的中点，连接，

则，（或其补角）为异面直线与的所成角.

设正方形的边长为，

则中，，，，

.

因为，.

（2）设圆柱的底面半径为，母线长度为，

当点是弧的中点时，且，

因为三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，平面.

所以三棱柱为直三棱柱，所以平面.

因为平面，所以，

因为，所以平面.

由三棱柱可得，故平面，

故，，

．