Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，△为等边三角形，，，，分别为棱，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，

【解析】

（1）证明和即可证明

（2）取的中点，连结，得，以为原点，以所在直线分别为轴如图建系，求得两平面的法向量，利用二面角向量公式求解

（3）假设棱上存在点，使得平面，且设，求得平面的法向量，利用得

（1）因为平面，平面，平面，所以，．

又因为△为等边三角形，为的中点，所以．，

所以平面．

（2）取的中点，连结，则易知，，．因为△为等边三角形，所以．

以为原点，以所在直线分别为轴如图建系，

，，，

设平面的法向量，则：，即，

令，得平面的一个法向量，易知平面的一个法向量为

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

（3）假设棱上存在点，使得平面，且设，则，

，则，

，要使得平面，则，得，

所以线段上存在点，使得平面，．