Question

【题目】已知函数的图像过点和．

（1）求函数的解析式；

（2）若在上有解，求的最小值；

（3）记，，是否存在正数，使得对一切均成立？若存在，求出的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析

【解析】

（1）直接把点和的坐标代入函数方程求出，的值，即可求函数的解析式；（2）原方程等同于在上有解，结合单调性求出右端最小值即可；（3）先根据条件求出数列的通项公式，将题意转化为恒成立；再通过构造，利用其单调性求出的最小值即可求出的最大值．

（1）由已知得，解得，

∴.

（2）由（1）得在上有解，

即在上有解，

令，易得在上单调递增，

，即的最小值为2.

（3）因为，

假设存在正数，使得对一切均成立，

则恒成立．

记，

则，

∵，

∴，所以是递增数列．

所以时最小，最小值，

所以，即的最大值为．