Question

【题目】如图（1），边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图（3）.

（1）求证：；

（2）求二面角最小时的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用图形翻折的几何关系可得出，，然后由直线与平面垂直的判定定理可得出平面，由此可证明出；

（2）以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，令，，可得出，求出平面和平面的法向量，然后利用空间向量法结合基本不等式可求出二面角最小时的余弦值.

（1）折叠前，，折叠后，，

又，所以平面，因此；

（2）由（1）及题意知，因此以为原点，、、分别

为、、轴建立空间直角坐标系如图：

令，，，所以，，

设平面法向量为

则所以，令，则

又平面法向量为，

设二面角的大小为，所以，

又，

当且仅当取等号，所以.

所以二面角最小时的余弦值为.