Question

【题目】已知函数．

（1）求在区间上的最大值和最小值；

（2）在曲线上是否存在点P，使得过点P可作三条直线与曲线相切？若存在，求出其横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当时，，；当时，，；当时，，；（2）存在，.

【解析】

（1）求出导数，确定函数的单调性，然后按分类讨论；

（2）假设存在符合条件的点，同时设切点为，由导数几何意义得即（*），问题转化为关于的方程（*）存在三个不同实根．然后用导数研究函数的零点．

（1）由题意得：

当时，；

当时，；

当时，．

即在单调递增，在单调递减，在单调递增

又的零点分别为，0，

所以当时，，；

当时，，；

当时，，．

（2）假设存在符合条件的点，切点设为

所以即（*）

故问题转化为关于的方程（*）存在三个不同实根．

令，则

当时，，在R上单调递增，不合题意；

当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增

从而，即

解得：

当时，易知在单调递增，在单调递减，在单调递增

从而，即

解得：

综上，存在符合条件的点P，其横坐标的取值范围为．