Question

【题目】如图所示，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，AB=1，BC=，AA1=2，E是侧棱BB1的中点．

（1）求证：A1E⊥平面AED；

（2）求二面角A﹣A1D﹣E的大小．

Answer 1

【答案】(1)见解析，(2)

【解析】试题分析：

（1）由题意建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标后可得，从而得A1E⊥DA，A1E⊥AE，由线面垂直的判定定理可得结论成立．（2）求出两平面的法向量，根据两个法向量夹角的余弦值可求得二面角的大小．

试题解析：

（1）证明：∵ 在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，

∴两两垂直．

建立如图所示空间直角坐标系．

则D（0，0，2），A（，0，2），E（，1，1），，C1（0，1，0），

∴ =（，0，0），=（0，1，﹣1），=（0，1，1），

∴，

∴ A1E⊥DA，A1E⊥AE，

又，

∴ A1E⊥平面AED．

（2）解：设平面A1DE的一个法向量为，

由 ，得，

令，得=（，﹣1，1）．

∵⊥平面AA1D，

∴平面AA1D的一个法向量为=（0，1，0），

∴，

由图形得二面角A﹣A1D﹣E是锐角，

∴二面角A﹣A1D﹣E的大小为．