【题目】如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)过点M任作一条直线与椭圆 相交于两点A、B,连接AN、BN,求证:∠ANM=∠BNM.
【答案】解:(Ⅰ)设圆C的半径为r(r>0),依题意,圆心坐标为(2,r). ∵|MN|=3,∴ ,解得 ,
故圆C的方程为 .
(Ⅱ)把x=0代入方程 ,解得y=1或y=4,
即点M(0,1),N(0,4).
①当AB⊥y轴时,由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM.
②当AB与y轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1.
联立方程 ,消去y得,(1+2k2)x2+4kx﹣6=0.
设直线AB交椭圆Γ于A(x1 , y1)、B(x2 , y2)两点,
则 , .
∴ =0,
∴∠ANM=∠BNM.
综上所述,∠ANM=∠BNM.
【解析】(Ⅰ)设圆C的半径为r(r>0),依题意,圆心坐标为(2,r),根据|MN|=3,利用弦长公式求得r的值,可得圆C的方程.(Ⅱ)把x=0代入圆C的方程,求得M、N的坐标,当AB⊥y轴时,由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM,当AB与y轴不垂直时,可设直线AB的方程为y=kx+1,代入椭圆的方程,利用韦达定理求得KAB+KBN=0,可得∠ANM=∠BNM.
【考点精析】解答此题的关键在于理解圆的标准方程的相关知识,掌握圆的标准方程:;圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程.
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【题目】已知{an}为等差数列,公差为d,且0<d<1,a5≠ (k∈Z),sin2a3+2sina5cosa5=sin2a7 , 函数f(x)=dsin(wx+4d)(w>0)满足:在 上单调且存在 ,则w范围是 .
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【题目】已知关于x的函数,其导函数.
(1)如果函数在x=1处有极值试确定b、c的值;
(2)设当时,函数图象上任一点P处的切线斜率为k,若,求实数b的取值范围.
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【题目】数列{an}中,a1=2, (n∈N*).
(1)证明数列 是等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)设 ,若数列{bn}的前n项和是Tn , 求证: .
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【题目】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0,P点的极坐标为 ,在平面直角坐标系中,直线l经过点P,斜率为
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求 的值.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】如图所示,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是矩形,AB=1,BC=,AA1=2,E是侧棱BB1的中点.
(1)求证:A1E⊥平面AED;
(2)求二面角A﹣A1D﹣E的大小.
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