【题目】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0,P点的极坐标为 ,在平面直角坐标系中,直线l经过点P,斜率为
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求 的值.
【答案】解:(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0,即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0,直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0; 直线l经过点P(0,3),斜率为 ,直线l的参数方程为
(t为参数);
(Ⅱ) (t为参数)代入圆的普通方程,整理,得:t2+
t﹣3=0,
设t1 , t2是方程的两根,∴t1t2=﹣3,t1+t2=﹣
∴ =
=
=
【解析】(Ⅰ)曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0,即ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0,即可写出曲线C的直角坐标方程;直线l经过点P(0,3),斜率为 ,即可写出直线l的参数方程;(Ⅱ)
(t为参数)代入圆的普通方程,整理,得:t2+
t﹣3=0,利用参数的几何意义,求
的值.
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【题目】已知命题 :
表示双曲线,命题
:
表示椭圆。
(1)若命题与命题
都为真命题,则
是
的什么条件?
(请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个)
(2)若 为假命题,且
为真命题,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
,动点M(2,t)(
).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且截直线所得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON的长为定值,并求出这个定值.
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【题目】如图,圆C与x轴相切于点T(2,0),与y轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的下方),且|MN|=3.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)过点M任作一条直线与椭圆 相交于两点A、B,连接AN、BN,求证:∠ANM=∠BNM.
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【题目】设有关于x 的一元二次方程
(1)若是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,
是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,求上述方程有实数根的概率;
(2)若是从区间
中任取的一个实数,
是从区间
中任取的一个实数,求上述方程有实数根的概率.
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【题目】已知圆:
(其中
为圆心)上的每一点横坐标不变,纵坐标变为原来的一半,得到曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)若点为曲线
上一点,过点
作曲线
的切线交圆
于不同的两点
(其中
在
的右侧),已知点
.求四边形
面积的最大值.
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【题目】设,
分别为双曲线
的左、右焦点,
为双曲线的左顶点,以
,
为直径的圆交双曲线某条渐近线于
,
两点,且满足
,则该双曲线的离心率为________.
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