【题目】已知椭圆经过点
,离心率为
,动点M(2,t)(
).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且截直线所得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,证明线段ON的长为定值,并求出这个定值.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】试题分析:(1)根据题意将点的坐标代入椭圆方程中得到
,同时
联立即可得到
的值,即椭圆的方程;(2)根据题意所求圆心为
的中点
,半径为
,利用圆心到直线
的距离为
,得到关于
的方程,得到所求圆的方程;(3)根据题意过点
作
的垂线,垂足设为
及平面几何知识得到:
,设直线
的方程为:
与
的直线
方程联立求得
,进而求得
得到
的长为定值.
试题解析:(1)由题意得,又由椭圆经过点P,得
,又
联立解得
,所以椭圆的方程为
;
(2)以为直径的圆的圆心为
,半径
,所以圆M的方程为
。依题意
,解得
所以所求圆的方程为
;
(3)过点作
的垂线,垂足设为
,由平面几何知识知
,直线
的方程为
,则直线
的方程为
由
,得
,故
,所以线段
的长为定值
.
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【题目】有下列说法:①若,
,则
;②若2
=
,
分别表示
的面积,则
;③两个非零向量
,若|
|=|
|+|
|,则
与
共线且反向;④若
,则存在唯一实数
使得
,其中正确的说法个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则( )
A. p1<p2<p3 B. p2<p1<p3
C. p1<p3<p2 D. p3<p1<p2
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【题目】已知关于x的函数,其导函数
.
(1)如果函数在x=1处有极值
试确定b、c的值;
(2)设当时,函数
图象上任一点P处的切线斜率为k,若
,求实数b的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为
,椭圆
过点
,直线
交
轴于
,且
,
为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆
的上顶点,过点
分别作直线
交椭圆
于
两点,设这两条直线的斜率分别为
,且
,证明:直线
过定点.
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【题目】在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣4sinθ=0,P点的极坐标为 ,在平面直角坐标系中,直线l经过点P,斜率为
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;
(Ⅱ)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求 的值.
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【题目】如图,多面体EF﹣ABCD中,ABCD是正方形,AC、BD相交于O,EF∥AC,点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点.
(Ⅰ)求证:BD⊥平面ACF;
(Ⅱ)若直线AE与平面ABCD所成的角为60°,求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值.
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【题目】农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况,从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高,数据如下:(单位:cm)
甲:9,10,11,12,10,20
乙:8,14,13,10,12,21.
(1)在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦苗株高的茎叶图;
(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平均数与方差,并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况.
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