Question

【题目】如图，多面体EF﹣ABCD中，ABCD是正方形，AC、BD相交于O，EF∥AC，点E在AC上的射影恰好是线段AO的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACF；
（Ⅱ）若直线AE与平面ABCD所成的角为60°，求平面DEF与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，则EH⊥平面ABCD
∵BD在平面ABCD内，∴EH⊥BD
又正方形ABCD中，AC⊥BD
∵EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF内
∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点， 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H﹣xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH为AE与平面ABCD所成的角，即∠EAH=60°，设正方形ABCD的边长为4a，
则AC=4 ，AH= ，EA=2 ，EH=
各点坐标分别为H（0，0，0），A（ ，B（﹣
C（﹣3 ，D（﹣ ，E（0，0，
易知为平面ABCD的一个法向量，记 ，
， ，
∵EF∥AC，∴
设平面DEF的一个法向量为 ，则 ⊥ ， ⊥，
即 ，令z= ，则x=0，y=﹣2，∴ ，且 ，
∴ 与 的夹角θ为|cosθ|=
平面DEF与平面ABCD所成角α的正弦值为sinα=
【解析】（Ⅰ）取AO的中点H，连结EH，只需证EH⊥BD，AC⊥BD，即可得BD⊥平面ACF（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，如图，以H为原点， 分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系H﹣xyz，求出两个面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．