Question

【题目】已知是关于的方程组的解.

（1）求证：；

（2）设分别为三边长，试判断的形状，并说明理由；

（3）设为不全相等的实数，试判断是“”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析

【解析】

（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；

（2）由方程组有非零解得出0，即0，将行列式展开化简即可得出a＝b＝c；

（3）利用（1），（2）的结论即可答案．

（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，

得：（a+b+c）．

（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，

∴0，由（1）可知（a+b+c）0．

∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，

∴0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，

∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，

∴a＝b＝c，

∴△ABC是等边三角形．

（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，

∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；

若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，

∴（a+b+c）0．

∴a+b+c＝0或0．

由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．

∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．

故答案为④．