Question

【题目】定义：对于任意，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列.

（1）若等差数列的前项和为，且，判断数列是否是M数列，并说明理由；

（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列是M数列，并指出M的取值范围；

（3）设数列，问数列是否是M数列？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)数列不是M数列，证明见解析；(2)数列是M数列，证明见解析，M的取值范围为；(3)当时，数列是M数列.

【解析】

(1)由等差数列的性质求等差数列的的公差，然后借助M数列的条件即可判断数列是否是M数列；

(2)由等比数列的性质求等比数列的公比，求前项和，然后借助M数列的条件判断，，即可得出结论数列是M数列，并可得出M的取值范围；

(3)先假设数列是M数列，然后由满足M数列的条件， 恒成立，去绝对值讨论满足条件的的取值范围，最后得出答案.

(1) 数列不是M数列，证明如下：

设等差数列的公差为，则由等差数列的性质可得：，得，所以，则等差数列是递增等差数列，恒有，即得数列无最大值，不满足，故数列不是M数列；

(2) 设等比数列的公比为，由题意可得，所以由，，

解得，则，所以，，，

所以，即，满足，

由，且，满足，即满足M数列的条件，故数列是M数列，且M，所以M的取值范围为.

(3)若数列是M数列，则满足，由

可得：， 恒成立，

当时，可得，

令，由恒成立，可得：

若，则由，可得；

若，则由，可得(舍)；

若，则由，可得(舍)，

所以当时，由可得，

当时，由，可得恒成立，

所以当时，， 恒成立，

又因为此时恒成立，

综上可得：当时，数列满足M数列的性质要求，

所以当时，数列是M数列.