Question

【题目】已知椭圆过点，且椭圆的一个顶点的坐标为．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．

（1）求椭圆的方程，并求点的坐标；

（2）求证：，，三点共线．

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据题意列方程组，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；

（2）讨论直线的斜率，利用是平行的证明，，三点共线．

（1） 因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为，

所以解得

所以椭圆的方程为．

所以椭圆的右焦点的坐标为．

（2）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为．

显然，，或，．

当，时，直线的方程为，点的坐标为．

所以．

直线的方程为，点的坐标为．

则，．

所以，所以，，三点共线．

同理，当，时，，，三点共线．

② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由得．

且．

设，，则，．

直线的方程为，点的坐标为．

所以．

直线的方程为，点的坐标为．

则，．

所以

，

，

，

，

，

．

所以与共线，

所以，，三点共线．

综上所述，，，三点共线．