Question

【题目】（1）已知，,求函数的单调区间和极值；

（2）已知，不等式（其中为自然对数的底数）对任意的实数恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的单调减区间为，单调增区间为.极小值，无极大值.（2）

【解析】

（1）求导得到根据导数的正负得到函数的单调区间，再计算极值得到答案.

（2）变换得到，设，等价于即

，，根据函数的单调性得到最值得到答案.

（1）函数的定义域为,，由得，，

所以当时，，当时，，

所以函数的单调减区间为，单调增区间为.

所以当时，取得极小值，无极大值.

（2）由得，，

即，设，，

则不等式对于任意的实数恒成立，等价于，

由（1）知，函数在区间上为增函数，

所以，即对任意的实数恒成立，

因为，所以，

即对任意的实数恒成立，即.

令，则，由得，，

所以当时，，函数在区间上为减函数，

当时，，函数在区间上为增函数，

所以当时，取得最小值.

所以，即.

又由已知得，所以，实数的取值范围是.