Question

【题目】已知.

（1）已知是导函数，求的极值；

（2）设，若有两个零点，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 极小值为 (2)

【解析】

（1）先求出，再利用导数求的极值；（2）先求出,再对a分a＞0，a=0，a＜0三种情况，根据函数g(x)有两个零点求出a的取值范围.

解：（1）

①若，显然所以在R上递增，所以没有极值.

②若，则，

所以在上是减函数，在上是增函数．

所以在处取极小值，极小值为

（2）.函数的定义域为R，

且.

①若，则.

所以在上是减函数，在上是增函数．

所以.

令，则.

显然，所以在上是减函数.

又函数在上是减函数，取实数，

则

又在上是减函数，在上是增函数．

由零点存在性定理，在，上各有一个唯一的零点．所以符合题意．

②若，则，显然仅有一个零点1，所以不符合题意.

③若，则.

（i）若，则，此时，

即在R上递增，至多只有一个零点，

所以不符合题意，

（ii）若，则，函数在上是增函数，

在上是减函数，在上是增函数，

所以在处取得极大值，且极大值，

所以最多有一个零点，所以不符合题意．

（iii）若，则，函数在和上递增，在上递减，所以在处取得极大值，且极大值为，所以最多有一个零点，所以不符合题意.

综上所述，a的取值范围是