【题目】在正方形中,边长
,
的中点为
,现将
沿对角线
翻折(如图),则在翻折的过程中.下列说法正确的是______.(填正确命题的序号)
①直线与直线
所成的角为
(
,
不重合时);
②三棱锥体积的最大值为
;
③三棱锥外接球的表面积为
;
④点运动形成的轨迹为椭圆的一部分.
【答案】①③
【解析】
对于①,取的中点
,连接
,
,得到
,
,
,由线面垂直的判定定理得到
平面
,从而得到
,可判读其正确;对于②,利用三棱锥等体积转换,
,得到当平面
平面
时,体积最大,利用椎体体积公式求得结果,可判读②是错误的;对于③,根据几何体特征,可得
的中点
为外接球的球心,确定出半径,利用球的表面积公式求得结果,可判读其正确;对于④,点
的轨迹为圆的一部分,从而得到其是错误的,从而得到正确答案.
①取的中点
,连接
,
,∴
,
,
,∴
平面
,∴
,①正确;
②,当平面
平面
时,三棱锥
的体积最大,此时
,
,②不正确;
③由①的中点
为外接球的球心,
,
,③正确;
④点的轨迹为圆的一部分,圆心为
上靠近
的4等分点,④不正确;
故答案是:①③.
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【题目】已知函数的图像过点
和
.
(1)求函数的解析式;
(2)若在
上有解,求
的最小值;
(3)记,
,是否存在正数
,使得
对一切
均成立?若存在,求出
的最大值;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在地上有同样大小的 5 块积木,一堆 2 个,一堆 3 个,要把积木一块一块的全部放到某个盒子里,每次 只能取出其中一堆最上面的一块,则不同的取法有______种(用数字作答).
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【题目】已知函数(
,
)的图象与
轴交点的横坐标构成一个公差为
的等差数列,把函数
的图象沿
轴向左平移
个单位,纵坐标扩大到原来的2倍得到函数
的图象,则下列关于函数
的命题中正确的是( )
A.函数是奇函数B.
的图象关于直线
对称
C.在
上是增函数D.当
时,函数
的值域是
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【题目】在如图所示的组合体中,三棱柱的侧面
是圆柱的轴截面,
是圆柱底面圆周上不与
重合的一个点.
(1)若圆柱的轴截面是正方形,当点是弧
的中点时,求异面直线
与
的所成角的大小;
(2)当点是弧
的中点时,求四棱锥
与圆柱的体积比.
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【题目】为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据分成,
,
,
,
,
,
组,得到如图所示的频率分布直方图.若尺寸落在区间
之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中
,
分别为样本平均和样本标准差,计算可得
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(1)若一个零件的尺寸是,试判断该零件是否属于“不合格”的零件;
(2)工厂利用分层抽样的方法从样本的前组中抽出
个零件,标上记号,并从这
个零件中再抽取
个,求再次抽取的
个零件中恰有
个尺寸小于
的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆
:
的焦距为2,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的上顶点为
,右焦点为
,直线
与椭圆交于
,
两点,问是否存在直线
,使得
为
的垂心,若存在,求出直线
的方程:若不存在,说明理由.
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